Tuesday, July 19, 2005


Preguntas de Polinomios

1. Define Polinomio en R. Clases.Ejemplos

a) Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 +... + a n , donde “n” es un número natural, a0, a1, a2, ... , an son coeficientes y "x" se denomina coeficiente indeterminado.

b) Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos.

Monomios

Binomios

Trinomios

Definición

Tiene un sólo término.

Tiene dos términos.

Tiene tres términos.

Ejemplos



Citas y referencias bibliográficas

1. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
2. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm
3. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
4. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

2. Aplicaciones

Los polinomios se utilizan en:
  • Informática.
  • Ingeniería.
  • Ventas.
  • Ciencia.
  • En los formateos que utilizan códigos e incógnitas.
  • En la electricidad.
  • Movimientos.
  • Magnitudes.
3. Investiga sobre: (Sustenta con ejemplos)

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto.

Grado relativo de un Monomio:

El grado relativo de un monomio es el exponente que afecta a cada letra, la parte numérica no tiene ninguna importancia.

Ejemplo:

4a3b2

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)

GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Grado absoluto de un Monomio:

El grado absoluto de un monomio no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras.

Ejemplo:

4a3b2 --------->GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

x5y3z ------> GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

Grado relativo de un Polinomio:
El grado relativo de un polinomio a una variable, es el mayor exponente que posee dicha variable, en toda la expresión.
Ejemplo:

4a3b2 +5a5b

En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.

4a3b2 +5a5b1

Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"

4a3b2 +5a5b1

Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)

GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

4a3b2 +5a5b1

Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).

GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer término y otro del segundo.

Grado absoluto de un polinomio:
El grado absoluto de un polinomio, es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Ejemplo:
4a3b2 +5a5bEste ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a3b2 +5a5b1Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1

Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Grado de las operaciones algebraicas

(3x5-6x7+8x-3) (4x+3x3-2) è (6x7) (3x3) è x10+….

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Introducción al álgebra. Grado Relativo y Absoluto de un monomio. Consultada 18/07/05. http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

2. Grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Actualizada el 08 de Septiembre del 2004. Consultada 18/07/05. http://www.elmundo.com.sv/vernota.php3?nota=36183&fecha=2004-09-08

3. Leoncio Santos Cuervo. Monomios. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Actualizada en el Año 2000. Consultada 18/07/05. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomi.htm#monomio

4. Leoncio Santos Cuervo. Definición y ejemplos de polinomios. . Ministerio de Educación y Ciencia. Actualizada en el año 2001. Consultada 18/07/05. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomios1.htm

5. Polinomio. Actualizada el actualizó el 12 de Marzo del 2001. Consultada 18/07/05. http://www.ejercitando.com.ar/teormate/polinomio2.htm

3.3. Polinomios especiales
Polinomios Completos:
Un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo.
Ejemplo:
6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5
para facilitar se completa y queda así: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

A la letra x no tenia exponente le hemos colocado el 1 que correspondía.El ejercicio es completo, ya que posee los exponentes de la variable, de mayor al cero y no es necesariamente ordenado.

Polinomios Ordenados:

Un polinomio es ordenado cuando todos sus términos están en forma ascendente, es decir, los exponentes van subiendo o si es descendente los exponentes van bajando sin estar necesariamente ordenados.

5a2 +3a3 -a5 +a8

Polinomios Homogéneos:

Un polinomio es homogéneo, cuando todos sus términos o monomios son del mismo grado absoluto. Por ejemplo:

3a2b + 5ab2 -3abc

El anterior ejemplo, podemos observar que el polinomio es homogéneo, ya que la suma de los grados absolutos de cada término son iguales. En este caso, cada monomio del polinomio es de 3er grado.

Polinomio heterogéneo

Un polinomio es heterogéneo, cuando sus términos no son del miso grado. Tomando como base el ejemplo anterior:

20a2 +3a3 -a5 +a8

Entonces afirmamos que el tercer polinomio es heterogéneo, ya que los grados absolutos de los de los términos son diferentes.

Polinomio Idénticamente Nulo

Dos polinomios son idénticamente nulos, cuando todos sus coeficientes valen cero y se verifica que

Sea P(a;b) = 0a3b2 + 0a5b1

Como podemos observar, el polinomio es idénticamente nulo, ya que los coeficientes de las variables son iguales a cero.

Polinomio Idénticos

Dos o más polinomios son idénticos como p y q cuando coinciden sus coeficiente, p – q = 0

Por ejemplo:

3a2b + 5ab2 -3abc * es idéntico a * 9/3(a2b) + 5ab2 -3abc

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Introducción al álgebra. Polinomios Completo. Consultada 18/07/05. http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet

2. Polinomio heterogneo. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web:http://www.upes.edu.sv/curso

3. Polinomio Identico. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: C:\WINDOWS\Archivos temporales de Internet\Content.IE5\32O7FXWD\258,3,POLINOMIOS

3.4. Operaciones con polinomios:

  1. Adición: Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.

Ejemplos:

a) Queremos sumar los polinomios siguientes:

P1: x3 + 8z + y + 4

P2: 2x3 + 5z − 12

Entonces la suma será:

P1+P2:

b)

Queremos sumar los polinomios siguientes:

P1: 5x2y +3xy2

P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

Entonces la suma será:

P1+P2:

c)

c) Queremos sumar los polinomios siguientes:

P1:

P2:

Entonces la suma será:

P1+P2:

d)

Queremos sumar los polinomios siguientes:

P1: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5)

P2: (5x3 - x2 + 2x)

Entonces la suma será:

P1+P2:

e)

Queremos sumar los polinomios siguientes:

P1:

P2:

Entonces la suma sería:

P1+P2:

Sustracción: Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama resta o sustracción a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios retados. Hay que tener cuidado con sus signos.

Ejemplos:

a) Queremos restar los siguientes polinomios:

P1-P2: 5x2y +3xy2 – (3x3 -2x2y +1xy2 -4y3 )=

(Respuesta)

b) Restar x3 + 8z + y + 4 y 2x3 + 5z − 12

(Respuesta)

c) Restar

(Respuesta)

d) Restar:

(Respuesta)

e) Restar :

(Respuesta)

f) Restar :

(Respuesta)

C. Multiplicación: En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos.

a) (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)

15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5

15x5y+(-10x4y2+9x4y2)+( 5x3y3-6x3y3)+( -20x2y4+3x2y4) -12xy5

15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5 (Respuesta)

b) ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1)

(-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5 (Respuesta)

c) 3x4 (2x3 - 2x2 + 3) - 2x (2x3 - 2x2 + 3)

3x4 . 2x3 + 3x4 (-2x2) + 3x4 . 3 - 2x . 2x3 - 2x (-2x2) - 2x . 3=

3 . 2 x4x3 + 3 (-2) x4x2 + 3.3 x4 -2 . 2 xx3 - 2(-2)xx2 -2 . 3 x=

6x7 - 6x6 +5x4 + 4x3 - 6x (Respuesta)

d) Otra forma para resolver:

D.

D) Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término.

Cuadrado del binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de binomio.

Suma por diferencia

El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.

Multiplicación de binomios con un término común

Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.

Cubo de un binomio

  1. (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  2. (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Cuadrado de un trinomio

  1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
  2. (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc

Suma y resta de cubos

1. (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

2. (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

1. Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  1. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  1. Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  1. Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  1. Binomio Diferencia al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  1. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

· Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

· Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

· Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

· Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

· Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

2.Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#semejantes

3. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.librosvivos.net/noticias.asp?idud=1223&id_libro=1022&id_marca=1002&est=2,0,2

4. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

5. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma

6. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnot

7. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

8. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

9. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#prodnot

10. Consultada el 18/07/05. Disponible en la siguiente Web: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

3.5 Ejercicios y problemas aplicativos

  • Hallar el grado relativo y absoluto de:

a)

El grado relativo de x es 2.

El grado relativo de y es 3.

El grado relativo de z es 5.

El grado absoluto es 10.

b)

El grado relativo de x es 5.

El grado relativo de y es 13.

El grado relativo de z es 1.

El grado absoluto es 19.

c)

El grado relativo de a es 2.

El grado relativo de b es 1.

El grado relativo de c es 1.

El grado relativo de d es 3.

El grado relativo de e es 1.

El grado absoluto es 8.

d)

El grado relativo de x es 2.

El grado relativo de y es 6.

El grado relativo de z es 5.

El grado absoluto es 10.

e)

El grado relativo de x es 3.

El grado relativo de y es 10.

El grado relativo de x es 12.

El grado absoluto es 19.

  • Resolver:

a) (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2)

Solución:

b) (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y)

Solución:

c) (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2)

Solución: